През февруари математическата общност бе изненадана от публикация, която опроверга дългогодишна хипотеза – предположението на Мизохата–Такеучи, поставена преди 40 години. Авторът на доказателството не е утвърден професор, а 17-годишната Хана Кайро – тийнейджърка, която дори не е завършила гимназия.

Хана Кайро израства в Насау, Бахамите, в семейство на програмист. Заедно с братята си получава домашно образование и още на 11 години завършва курс по интегрално и диференциално смятане в онлайн платформата Khan Academy. Когато изчерпва наличните материали, преминава към самостоятелно изучаване на университетски учебници, с помощта на дистанционни наставници – двама професори по математика.

Въпреки успехите, животът ѝ в домашна изолация ѝ тежи. Математиката се превръща в нейното „убежище“ – свят без физически граници, където може да изследва идеи безкрайно.

В Бъркли при Звездалина Станкова

През 2021 г., по време на пандемията, семейството ѝ остава блокирано в Чикаго. Там Хана се включва в Math Circles of Chicago („Математическите кръгове на Чикаго“ - безплатна, програма за обучение по математика), а година по-късно – в онлайн лятна школа на Berkeley Math Circle. Въпреки че е едва на 14 години, тя вече е усвоила самостоятелно знания, еквивалентни на завършена бакалавърска степен по математика.

След второ лято в програмата, Хана търси следваща стъпка. Съветвана от българката, професорът по математика Звездалина Станкова, тя се записва в програмата за паралелно обучение в Калифорнийския университет, Бъркли, за да посещава магистърски курсове.

„Хана е необикновена“, отбелязва Звезделина Станкова, която е и основател на Математическия кръг в Бъркли. „Всеки път, когато кандидатства за училище или програма, тя е с няколко нива напред."

Хипотезата на Мизохата–Такеучи

Един от курсовете – по теория на Фурие – е воден от Жуейсян Джан (Ruixiang Zhang). За домашна работа Джан дава на младата математичка опростена версия на хипотезата на Мизохата–Такеучи (Mizohata-Takeuchi Conjecture), с опция за надграждане към по-сложния ѝ вариант.

Хипотезата на Мизохата-Такеучи попада в областта на хармоничния анализ, който се опитва да раздели функциите на по-прости компоненти, като например синусоидални функции. Днес това е много активна област на изследване и се е превърнала във фундаментален инструмент в множество приложения, от компресиране на цифрови аудио и видео файлове до проектиране на телекомуникационни системи.

Хармоничният анализ се заражда в началото на 19 век с работата на френския математик Жозеф Фурие върху изучаването на топлинната функция – диференциално уравнение с частни производни, което описва дифузията на топлината в твърдо тяло. Неговата революционна идея е да разбие тази сложна функция на сума от синуси и косинуси. Техниката, известна като ред на Фурие, отваря вратата към нов начин за разбиране на физическите и математическите явления.

„В теорията на хармоничния анализ всичко е съставено от вълни. Можете да построите всичко с тях, ако използвате правилния брой вълни“,обяснява Кайро.

И така всяка дадена функция може да бъде записана като сума от по-прости вълнообразни части. Всяка от тези синусоиди, от своя страна, има честота. Математиците често искат да разберат природата на функциите, които могат да бъдат изградени само от синусоиди с определени честоти. В тези случаи единствените разрешени честоти са тези, които удовлетворяват уравнения, които издълбават специфични повърхности, като сфера. Това е така, защото функциите, които дефинират много физически вълни - като светлина, звук и квантови частици - са ограничени до тези видове честоти.

Хипотезата на Мизохата-Такеучи разглежда функции, изградени от вълни, чиито честоти лежат върху такава повърхност. Тя гласи, че енергията на функцията – мярка за това колко голяма става функцията – може да бъде разпределена и концентрирана само в определени модели.

Все едно свириш музика в стая със странна форма. Понякога музиката може да ехти и да се усилва, ставайки много силна. Но това е възможно само на определени места.

За десетилетия математиците постигат само ограничен напредък по няколко специални случая на хипотезата на Мизохата-Такеучи. Но общият проблем остава отворен. Никой от стандартните методи не изглеждаше способен да го разреши.

Тази непроницаемост кара някои математици да заподозрят, че хипотезата е невярна, други смятат, че нейната елегантност я прави по-вероятно да е вярна.

Пробивът

Хана започва с опити, които преподавателят ѝ отхвърля като неработещи. Но продължава да мисли и да търси решение. В крайна сметка открива функция, чието енергийно разпределение нарушава предсказанията на хипотезата. Вместо да се „гасят“ взаимно, вълните в нейната конструкция създават сложни, фрактално наподобяващи модели на концентрация и разсейване – именно това, което хипотезата твърди, че е невъзможно.

Тя успява да опрости конструкцията и да докаже, че резултатът е коректен.

Кайро обяснява хармоничния анализ с ярък образ: Подобно на хвърлянето на камъни в езеро, в математиката възникват и насложени вълнови модели. Хипотезата на Мизохата-Такеучи твърди, че при определени ограничения могат да се появят само прави линии. Кайро успя да покаже, че това не е вярно.

Оказва се, че с това откритие се оборва не само хипотезата на Мизохата–Такеучи.

В хармоничния анализ съществува съзвездие от въпроси за това как се концентрира енергията на вълната. Ако предположението на Щайн бе вярно, то би затвърдило връзките между някои от най-важните въпроси в това по-широко съзвездие. Но работата на Кайро показва, че предположението на Щайн е невярно. То елиминира една от най-обещаващите връзки, които математиците са се надявали да установят между различните части на хармоничния анализ.

Общността на математиците, работещи в областта на хармоничния анализ, ще трябва да се съобразят с променения пейзаж.

От тийнейджър до докторант

През февруари тя публикува работата си онлайн на сървър за предпечат – с розови цветя и орнаменти по слайдовете. 

Публикацията на Кайро предизвиква възторг в научните среди. Някои университети отказват да я приемат в докторантура, тъй като няма диплома за средно образование, но Университетът на Мериленд и Джон Хопкинс ѝ предлагат място. От есента тя ще започне докторантура, а това ще бъде първата ѝ официална диплома.

Историята ѝ вече е вдъхновение за нови подходи в математиката и за това как понякога най-смелите идеи идват от най-неочакваните места.

Кайро за обучението по математика

Кайро разбира, че много хора се отдръпват от математиката.Тя вярва, че това се дължи на начина, по който се преподава:

„В училище математиката е безмилостна. Или грешиш, или си прав."

За нея математиката е изкуство – състоящо се от различни идеи. От тях можеш да създадеш нещо ново, точно както създаваш картина от цветове. Но училищната математика е по-малко свързана с творческия процес и повече с безсмисленото прилагане на формули.

„Но повечето хора предпочитат да рисуват, отколкото да учат за цветовете."

Справка: A Counterexample to the Mizohata-Takeuchi Conjecture, Hannah Cairo, https://arxiv.org/abs/2502.06137 

Източник: At 17, Hannah Cairo Solved a Major Math Mystery, Guanta magazine